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N, entonces las conclusiones del teorema se satisfacen. • La esfera de Riemann y el "punto al infinito" Para ciertos propósitos es conveniente introducir un punto "oo" además de los puntos z e C. Uno debe ser cauteloso al hacerlo, pues esto puede llevar a confusión y abuso del símbolo oo, pero con cuidado esto puede ser útil y, ciertamente, queremos ser capaces de hablar inteligiblemente sobre límites infinitos y l ímites al infinito. En contraste con la recta real, en la cual +oo y -oo pueden ser agregados, tene­ mos sólo un oo para C.

Demostración. Tómese a en C. Si z0 está en e, puesto que e es abierto, existe una E > O tal que el disco D(z0; E) está contenido en C. Al combinar una trayectoria de a a z0 con una de z0 a z , el cual está en el disco, vemos que z 0 puede conectarse con a por una trayectoria diferenciable si y sólo si lo mismo es cierto para cual­ quier punto z en D(z0; A = E). Esto muestra que ambos conjuntos lz E e 1 z no puede conectarse a a por una trayectoria diferenciable ) l e 1 y B = z E z no puede conectarse a a l son abiertos .

Por ejemplo, s i usamos la rama correspondiente a haríamos n = O. o [O , 21t[, Algunas propiedades de ah aparecen en los ejercicios al final de esta sección, pero ahora estamos interesados en el caso especial en el que b es de la forma 1 /n, porque éste nos da la raíz n-ésima. La función raíz n-ésima Sabemos que n¡ztiene exactamente n valores para z =F O. Para obtener una función específica debemos nuevamente escoger una rama de log como se describió en el párrafo anterior. 3. 1 1 . La función raíz n-ésima se define como.

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