By S. G. Michlin (auth.)
ISBN-10: 3034854994
ISBN-13: 9783034854993
ISBN-10: 3034855001
ISBN-13: 9783034855006
Die vorliegende kleine Monographie knüpft an zwei Gebiete der research an. Das eine ist die Variationsdifferenzenmethode zur näherungsweisen Lösung von Randwertaufgaben für Differentialgleichungen; dafür ist auch der identify Me thode der finiten Elemente gebräuchlich. Das andere Gebiet ist die Konstruktive Funktionentheorie. Unser Ausgangspunkt ist der Aufbau spezieller Klassen von Koordinatenfunktionen für die Variationsdifferenzenmethode durch elementare Transformationen der unabhängigen Variablen aus gewissen vorgegebenen Funktionen, die der Verfasser Ausgangsfunktionen nennt. Sind diese Koordina tenfunktionen konstruiert, entsteht die Frage nach ihren Linearkombinationen, mit denen Funktionen der einen oder der anderen vorgegebenen Klasse approxi miert werden können, sowie die Frage nach dem Genauigkeitsgrad einer solchen Approximation in dieser oder jenen Norm. Das ist bereits ein challenge der Kon struktiven Funktionentheorie. Die Monographie besteht aus elf Kapiteln. Im ersten Kapitel wird die Idee von R. CoURANT erörtert, die die Grundlage der Variationsdifferenzenmethode bildet. Ausführlich wird ein Beispiel von CouRANT diskutiert, und anband des Beispiels wird der Begriff der Ausgangsfunktion eingeführt. Es wird die all gemeine Definition dieses Begriffes gegeben und ein Verfahren zur Konstruk tion von Koordinatenfunktionen aufgezeigt.
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X) = x"/y! für x E Q ist. Aus der Vollständigkeit des Systems (5) folgt, daß die Beziehung (h -+ 0) (6) erfüllt ist, wobei u~ (x) = s-1 ( x ,E ,E a~~;wq h - j ) (7) lql =0 ieJh mit gewissen Konstanten a~~/ gilt. Sei l/2 h eine ganze Zahl, dann läßt sich der Kubus Q in kleine Kuben des Gitters zerlegen; mit j 0 bezeichnen wir die Nummer des unteren Eckpunktes 32 li. Vollständigkeit und Fundamentalbeziehungen eines solchen Kubus, den wir mit Q;, bezeichnen. 1o = -~ '"'h-l"'la<~>w<"'l (-=-1·)1Pdx ' IJ1Y q h 1 1 Jl~"'Y "-' "-' 1111 =0 ieJA QJ, wo (X der Multiindex aus der Ungleichung (4) ist.
Vollständigkeit in SoBOLEwschen Räumen § 3. Q) mit einem Gebiet Q derart, daß die Funktion u(x) eine Fortsetzung auf den ganzen Raum Rm unter Beibehaltung der Klasse gestattet; die fortgesetzte Funktion bezeichnen wir mit u*(x). Ihr Träger ist kompakt; wir kontruieren einen Kubus Q der Form Q< x <~'so daß supp u* c Q. Diese Funktion u*(x) wird gemittelt, wobei der Radius (! der Mittelung kleiner als der kürzeste Abstand zwischen Punkten der Mengen oQ und supp u* gewählt wird; die Mittelfunktion bezeichnen wir mit ve(x).
6) = = Bezüglich der Ergebnisse dieses Paragraphen siehe die Arbeit des Autors [ll]. § 4. 4), Kap. I, erhalten kann, wenn man die Anzahl der Ausgangsfunktionen gegenüber der Forderung JqJ ~ s - 1 vermindert. Wie wir im folgenden zeigen werden, ist die Antwort negativ; die exakte Formulierung erfolgt weiter unten (siehe die Arbeit des Autors [14]). Es sei ein System linear unabhängiger Ausgangsfunktionen wq(x) vorgegeben, die Anzahl M dieser Funktionen sei kleiner als die Anzahl Ms der Multiindizes q, für die JqJ s s - 1 gilt (siehe § 4, Kap.
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